Cho các số phức z1= -2+i, z2 = 2+i và số phức z thay đổi thỏa mãn
Giải thích
Gọi \(M\) là điểm biểu diễn của \[z.\]
Gọi \(A\left( { - 2\,;\,\,1} \right),\,\,B\left( {2\,;\,\,1} \right).\) Gọi \(I\left( {0\,;\,\,1} \right)\) là trung điểm AB.
Ta có \({\left| {z - {z_1}} \right|^2} + {\left| {z - {z_2}} \right|^2} = 16 \Leftrightarrow M{A^2} + M{B^2} = 16\)
\(M{A^2} + M{B^2} = 2M{I^2} + \frac{{A{B^2}}}{2} = 16 \Rightarrow MI = 2\).
Suy ra tập hợp các điểm \(M\) là đường tròn tâm \(I\left( {0\,;\,\,1} \right)\) bán kính \(R = 2.\)
Ta lại có: \(\left| {IM - IO} \right| \le IM \le IM + IO \Leftrightarrow 1 \le OM \le 3.\)
Do đó \({\left| z \right|_{\max }} = 3 \Leftrightarrow M = {M_2}\); \({\left| z \right|_{{\rm{min }}}} = 1 \Leftrightarrow M = {M_1}\)\( \Rightarrow {M^2} - {m^2} = 8.\)
Đáp án: 8.