Cho các số nguyên dương a1 < a2 < a3 < ... < a30 < a31. Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số. a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31

5/5

Cho các số nguyên dương \({a_1} < {a_2} < {a_3} < ... < {a_{30}} < {a_{31}}\). Người ta ghi tất cả các số này lên 31 chiếc thẻ, mỗi thẻ ghi một số.

a) Biết rằng tổng các số được ghi trên 16 thẻ bất kỳ trong số 31 thẻ trên luôn lớn hơn tổng các số được ghi trên 15 thẻ còn lại. Chứng minh \({a_1} \ge 226\).

b) Lấy \({a_1},{a_2},...,{a_{31}}\) là 31 số nguyên dương đầu tiên: \(1\,,\,\,2\,,\,\, \ldots \,,\,\,31\). Người ta bỏ 31 thẻ được ghi các số này vào hai chiếc hộp một cách ngẫu nhiên. Khi kiểm tra một hộp thì thấy rằng trong hộp đó không có hai thẻ nào có tổng hai số được ghi là số chính phương. Chứng minh trong hộp còn lại ta có thể chọn ra được bốn thẻ và chia chúng thành hai cặp sao cho tổng hai số được ghi trên mỗi cặp là số chính phương.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

a) Từ giả thiết \({a_1} + {a_2} + ... + {a_{16}} > {a_{17}} + ... + {a_{31}}\)

\[{a_1} > \left( {{a_{17}} - {a_2}} \right) + \left( {{a_{18}} - {a_3}} \right) + ... + \left( {{a_{31}} - {a_{16}}} \right) \ge 15 \cdot 15 = 225\].

Suy ra \({a_1} \ge 226\).

b) Xét ba thẻ ghi các số lần lượt là 6, 19 và 30.

Ta thấy rằng tổng 2 thẻ bất kỳ trong chúng hoặc là 25, 36 hoặc 49, nên đều là các số chính phương.

Do chia các thẻ vào 2 hộp nên theo nguyên lý Dirichlet sẽ tồn tại một hộp chứa ít nhất 2 thẻ trong 3 thẻ trên nên tổng 2 thẻ đó là số chính phương.

Loại 3 thẻ này, giả sử không còn hộp nào chứa hai thẻ mà tổng lại là số chính phương.

Ta xét cụ thể, giả sử thẻ số 1 thuộc hộp thứ nhất, khi đó các thẻ 3, 8, 15, 24 sẽ thuộc hộp thứ hai.

Do thẻ ghi số 3 thuộc hộp thứ hai nên thẻ 13 sẽ thuộc hộp thứ nhất nên thẻ 12 sẽ thuộc hộp thứ hai.

Khi đó, trong hộp thứ hai này ta chọn thẻ 12 và 24, tổng của chúng sẽ là số chính phương (mâu thuẫn).

Vậy trong hộp còn lại này ta sẽ chọn được 4 thẻ thỏa mãn yêu cầu bài toán.