Cho các số dương x ,y, z  thỏa mãn x^2+ y^2+ z^2 = 2. Tính giá trị lớn nhất của biểu thức P = 1/(2−xy) + 1/ (2−yz) +1 / (2−xz).

Ta thấy \(\frac{1}{{2 - xy}} = \frac{1}{2}\left( {\frac{{2 - xy + xy}}{{2 - xy}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {1 + \frac{{xy}}{{2 - xy}}} \right)\)

Tương tự suy ra \(P = \frac{3}{2} + \frac{1}{2}\left( {\frac{{xy}}{{2 - xy}} + \frac{{yz}}{{2 - yz}} + \frac{{xz}}{{2 - zx}}} \right)\)

Ta có biến đổi: \(2 - xy = \frac{{4 - 2xy}}{2} = \frac{{2\left( {{x^2} + {y^2} + {z^2}} \right) - 2xy}}{2} = \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{z^2} + {{\left( {x - y} \right)}^2}}}{2}\)

Vì \({\left( {x - y} \right)^2} \ge 0\) ta có: \(2 - xy \ge \frac{{{x^2} + {y^2} + 2{z^2}}}{2}\) suy ra \(\frac{1}{{2 - xy}} \le \frac{2}{{{x^2} + {y^2} + 2{z^2}}}\).

Suy ra \(\frac{{xy}}{{2 - xy}} \le \frac{{2xy}}{{{x^2} + {y^2} + 2{z^2}}} = \frac{{2xy}}{{\left( {{x^2} + {z^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right)}}\).

Áp dụng BĐT AM – GM cho mẫu số: \(\left( {{x^2} + {z^2}} \right) + \left( {{y^2} + {z^2}} \right) \ge 2\sqrt {\left( {{x^2} + {z^2}} \right)\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} \)

Ta được \(\frac{{xy}}{{2 - xy}} \le \frac{{xy}}{{\sqrt {\left( {{x^2} + {z^2}} \right)\left( {{y^2} + {z^2}} \right)} }} = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {z^2}}} \cdot \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}}  \le \frac{1}{2}\left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {z^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}} \right)\)

Chứng minh tương tự với \(\frac{{yz}}{{2 - yz}};\,\,\frac{{xz}}{{2 - zx}}\) rồi cộng theo vế, được:

\[\frac{{xy}}{{2 - xy}} + \frac{{yz}}{{2 - yz}} + \frac{{xz}}{{2 - zx}} \le \frac{1}{2}\left[ {\left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {z^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {z^2}}}} \right) + \left( {\frac{{{y^2}}}{{{y^2} + {x^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} + {x^2}}}} \right) + \left( {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{z^2}}}{{{z^2} + {y^2}}}} \right)} \right] = \frac{3}{2}\]

Từ đó, suy ra \(P \le \frac{3}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{4}\).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi \(x = y = z = \sqrt {\frac{2}{3}} \).

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \frac{9}{4}\) khi \(x = y = z = \sqrt {\frac{2}{3}} \).