Cho các số a,b,c dương thỏa mãn 2ab + c(a + b) = 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = (2a + 2b + c)/(căn bậc hai(4a^2 + 12) + căn bậc hai(4b^2 + 12)

Từ giả thiết, ta có:

\[\sqrt {4{a^2} + 12} = \sqrt {2\left( {2{a^2} + 6} \right)} = \sqrt {2\left( {2{a^2} + 2ab + ac + bc} \right)} = \sqrt {\left( {2a + 2b} \right)\left( {c + 2a} \right)} \].

Tương tự

\[\sqrt {4{b^2} + 12} = \sqrt {\left( {2a + 2b} \right)\left( {c + 2b} \right)} \]; \[\sqrt {{c^2} + 12} = \sqrt {\left( {2a + c} \right)\left( {c + 2b} \right)} \].

Khi đó, \[\sqrt {4{a^2} + 12} + \sqrt {4{b^2} + 12} + \sqrt {{c^2} + 12} \le \frac{{6a + 6b + 2c}}{2} + \frac{{2a + 2b + 2c}}{2}\]

Hay \[\sqrt {4{a^2} + 12} + \sqrt {4{b^2} + 12} + \sqrt {{c^2} + 12} \le 2\left( {2a + 2b + c} \right)\].

Suy ra \[P = \frac{{2a + 2b + c}}{{\sqrt {4{a^2} + 12} + \sqrt {4{b^2} + 12} + \sqrt {{c^2} + 12} }} \ge \frac{{2a + 2b + c}}{{2\left( {2a + 2b + c} \right)}}\] hay \[P \ge \frac{1}{2}\].

Dấu “=” xảy ra khi \[a = b = 1,c = 2\].

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P = \frac{1}{2}\] khi \[a = b = 1,c = 2\].