Cho các phương trình ( ẩn x ) ax^2 - bx + c =0 (1) và cx^2 - bx + a =0

a)\(a - b + 4c = 0 \Leftrightarrow b = a + 4c\)

\(\begin{array}{l}{\Delta _1} = {\Delta _2} = {b^2} - 4ac = {\left( {a + 4c} \right)^2} - 4ac\\ = {a^2} + 4ac + 16{c^2} = {\left( {a + 2c} \right)^2} + 12{c^2}\end{array}\)

\( \Rightarrow {\Delta _1} > 0,{\Delta _2} > 0\)

Suy ra các phương trình \(\left( 1 \right)\)và \(\left( 2 \right)\) đều có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lý Vi-ét ta có:

\({S_1} = \frac{b}{a},{S_2} = \frac{b}{c},{P_1} = \frac{c}{a},{P_2} = \frac{a}{c}\)

Vì \(a,b,c\)là các số thực dương nên\({S_1},{S_2},{P_1},{P_2}\) đều lớn hơn 0.

Ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _1} > 0\\{S_1} > 0\\{P_1} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt.

\(\left\{ \begin{array}{l}{\Delta _2} > 0\\{S_2} > 0\\{P_2} > 0\end{array} \right. \Rightarrow \) Phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm dương phân biệt.

b)Theo định lý Vi-ét ta có:

\({x_1} + {x_2} = \frac{b}{a};{x_1}{x_2} = \frac{c}{a};{x_3} + {x_4} = \frac{b}{c};{x_3}{x_4} = \frac{a}{c}\) 

\(\begin{array}{l}T = \frac{1}{{{x_1}{x_2}{x_3}}} + \frac{1}{{{x_2}{x_3}{x_4}}} + \frac{1}{{{x_3}{x_4}{x_1}}} + \frac{1}{{{x_4}{x_1}{x_2}}}\\ = \frac{{{x_1} + {x_2} + {x_3} + {x_4}}}{{{x_1}{x_2}{x_3}{x_4}}}\\ = \frac{{\frac{b}{a} + \frac{b}{c}}}{{\frac{c}{a}.\frac{a}{c}}}\\ = \frac{b}{a} + \frac{b}{c}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} = \frac{{a + 4c}}{a} + \frac{{a + 4c}}{c}\\ = 5 + \frac{{4c}}{a} + \frac{a}{c}\end{array}\)

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(T = 5 + \frac{{4c}}{a} + \frac{a}{c} \ge 5 + 2\sqrt {\frac{{4c}}{a}.\frac{a}{c}}  = 9\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow a = 2c,b = 6c\).

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(T\)là 9.