Cho các hàm số y =log a của x;y = log b của x;y =log c của x với a,b,c là ba số thực dương khác 1.
22/40
Cho các hàm số \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x;y = {\log _c}x\) với \(a,b,c\) là ba số thực dương khác 1.
Đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).
Hàm số \(y = {\log _c}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
Từ đồ thị ta có \(0 < c < 1 < a < b\).
Đường thẳng \(y = 3\) cắt hai đồ thị \(y = {\log _a}x;y = {\log _b}x\) tại các điểm có hoành độ lần lượt là \({x_1};{x_2}\) sao cho \({x_2} = 2{x_1}\). Khi đó \(\frac{a}{b} = \sqrt[3]{2}\).
Hướng dẫn giải
a) Đ, b) S, c) Đ, d) S
a) Dựa vào đồ thị hàm số ta có đồ thị các hàm số trên đều đi qua điểm \(A\left( {1;0} \right)\).
b) Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số \(y = {\log _c}x\) nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\).
c) Vì hàm số \(y = {\log _c}x\)nghịch biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(0 < c < 1\).
Hàm số \(y = {\log _a}x;{\log _b}x\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\) nên \(a > 1;b > 1\).
Với \(x > 1\) thì \({\log _b}x < {\log _a}x\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x > \frac{1}{{{{\log }_x}b}}\)\( \Leftrightarrow {\log _a}x.{\log _x}b > 1\)\( \Leftrightarrow {\log _a}b > 1\)\( \Leftrightarrow b > a\).
Do đó \(0 < c < 1 < a < b\).
d) Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\log _a}{x_1} = 3\\{\log _b}{x_2} = 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_1} = {a^3}\\{x_2} = {b^3}\end{array} \right.\).
Mà \({x_2} = 2{x_1}\) nên \({b^3} = 2{a^3}\)\( \Leftrightarrow \frac{{{a^3}}}{{{b^3}}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{a}{b} = \frac{1}{{\sqrt[3]{2}}}\).