Cho các hàm số y = f ( x ) = ax^2 + bx + c và g ( x ) = mx + n có đồ thị lần lượt là đường cong ( C ) và đường thẳng d như hình vẽ.

Ta có \(A\left( {0;c} \right) \in \left( C \right),B\left( {0;n} \right) \in d\) và \(AB = 5\) nên \(c - n = 5\).

Phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( C \right)\) và \(d\) là:

\(a{x^2} + bx + c = mx + n \Leftrightarrow a{x^2} + \left( {b - m} \right)x + c - n = 0 \Leftrightarrow a{x^2} + \left( {b - m} \right)x + 5 = 0\) (*)

Hoành độ giao điểm của \(\left( {\rm{C}} \right)\) và \({\rm{d}}\) là \(x = 1\) và \(x = 5\) nên (*) có dạng:

\(a\left( {x - 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0 \Leftrightarrow a{x^2} - 6ax + 5a = 0\)

Do đó, \(a = 1\). Suy ra \(f\left( x \right) - g\left( x \right) = {x^2} - 6x + 5\).

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\) và \(d\) là

$\underset{1}{\overset{5}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx=\underset{1}{\overset{5}{\int }}\left|x^2-6x+5\right|dx=\frac{32}{3}$.

Vậy \(T = p + q = 32 + 3 = 35\).

Đáp án cần nhập là: \(35\).