Cho các hàm số sau f ( x ) = x^ 3 − 3 x ^2 + 2025 , g ( x ) =( x ^2 − 2 x + 1)/( x − 2) . Trong các mệnh đề sau, đâu là mệnh đề đúng đâu là mệnh đề sai?

a)   
Ta có \[f'\left( x \right) = 3{x^2} - 6x;\,f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\] , ta có dấu của \(f'\left( x \right)\) :

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {0;2} \right) \Rightarrow \] mệnh đề a) đúng.

b)    Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).

Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}},y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\), ta có dấu của \({y^\prime }\) :

Suy ra hàm số nghịch biến trên khoảng \[\left( {1;2} \right)\] và \(\left( {2;3} \right)\) \[ \Rightarrow \] mệnh đề b) sai.

c)    Ta có \(y' = 3{x^2} - 6x;y' = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Suy ra điểm cực đại của hàm số là \(x = 0\) ( \(y'\) đổi dấu từ + sang - ) \[ \Rightarrow \] mệnh đề c) đúng.

d)    Ta có \(g\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 2x + 1}}{{x - 2}}\)

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\} \).

\(g'\left( x \right) = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{(x - 2)}^2}}},\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 \Rightarrow y = 0}\\{x = 3 \Rightarrow y = 4}\end{array}} \right.\)

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}A\left( {1;0} \right)\\B\left( {3;4} \right)\end{array} \right. \Rightarrow AB:y = 2x - 2\]

Vậy điểm \(N\left( {2;2} \right) \in AB \to \) mệnh đề d) đúng.