Cho bốn điểm A(0; 1; 3), B(-1; 0; 5), C(2; 0; 2) và D(1; 1; -2). Tìm tọa độ của các vectơ AB, AC và một vectơ vuông góc vởi cả hai vectơ đó.

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 1;2),\overrightarrow {AC}  = (2; - 1; - 1)\).

Xét vectơ \(\vec n = [\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} ] = \left( {\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&2\\{ - 1}&{ - 1}\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}2&{ - 1}\\{ - 1}&2\end{array}} \right|;\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{ - 1}&{ - 1}\\2&{ - 1}\end{array}} \right|} \right) = (3;3;3)\).

Khi đó, \(\vec n = (3;3;3)\) là một vectơ vuông góc với cá hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} \).

b) + Đường thẳng AB đi qua điếm A và nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = ( - 1; - 1;2)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thắng AB là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - t}\\{y = 1 - t}\\{z = 3 + 2t}\end{array}} \right.\) (t là tham số).

Phương trình chính tắc của đường thắng AB là \(\frac{x}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{2}\).

+ Đường thẳng AC đi qua điếm A và nhận vectơ \(\overrightarrow {AC}  = (2; - 1; - 1)\) làm vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thắng AC là \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 2t}\\{y = 1 - t{\rm{ (t là  tham s?)}}{\rm{. }}}\\{z = 3 - t}\end{array}} \right.\)

Phương trình chính tắc của đường thắng AC là \(\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 3}}{{ - 1}}\).

c) Mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) đi qua điếm A và nhận vectơ \(\overrightarrow {{n^\prime }}  = \frac{1}{3}\vec n = (1;1;1)\) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tống quát của mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) là:

\(1({\rm{x}} - 0) + 1({\rm{y}} - 1) + 1({\rm{z}} - 3) = 0 \Leftrightarrow x + y + z - 4 = 0.\)

d) Thay tọa độ điếm \({\rm{D}}(1;1; - 2)\) vào phương trình mặt phẳng \(({\rm{ABC}})\) ta được:

\(1 + 1 + ( - 2) - 4 =  - 4 \ne 0.{\rm{ }}\)

Suy ra điếm D không thuộc mặt phắng (ABC).

Vậy bốn điếm \({\rm{A}},{\rm{B}},{\rm{C}},{\rm{D}}\) không đồng phẳng.

e) Khoảng cách từ điếm D đến mặt phắng \(({\rm{ABC}})\) là:

\(d(D,(ABC)) = \frac{{|1 + 1 + ( - 2) - 4|}}{{\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = \frac{4}{{\sqrt 3 }} = \frac{{4\sqrt 3 }}{3}\)