Cho bốn điểm A, B, C, D trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng, bất kì hai điểm nào cũng có khoảng cách lớn hơn 10.

Trước hết ta chứng minh một bài toán phụ:

Cho ΔABC, A^≥90°. Chứng minh rằng BC2≥AB2+AC2.

Vẽ BH⊥AC. Vì A^≥90° nên H nằm trên tia đối của tia AC.

Xét ΔHBC và ΔHBA vuông tại H, ta có:

BC2=HB2+HC2=AB2−HA2+HA+AC2=AB2−HA2+HA2+AC2+2HA.AC=AB2+AC2+2HA.AC

Vì HA.AC≥0 nên BC2≥AB2+AC2 ( dấu “=” xảy ra khi H≡A tức là khi  ΔABCvuông ).

Vận dụng kết quả trên để giải bài toán đã cho

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lồi (h.1.14)

Ta có: A^+B^+C^+D^=360°

Suy ra trong bốn góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 90°, giả sử A^≥90°

Xét ΔABD ta có BD2≥AB2+AD2>102+102=200 suy ra BD>200, do đó BD > 14

Trường hợp tứ giác ABCD là tứ giác lõm (h.1.15)

Nối CA, Ta có: ACD^+ACB^+BCD^=360°.

Suy ra trong ba góc này phải có một góc lớn hơn hoặc bằng 120°.

Giả sử ACB^≥120°, do đó ACB^ là góc tù

Xét ΔACB có AB2≥AC2+BC2>102+102=200

Suy ra AB>200⇒AC>14

Vậy luôn tồn tại hai điểm đã cho có khoảng cách lớn hơn 14.