Cho biểu thức T = ( (a √ a − 1)/( a − √ a) − (a √ a + 1)/( a + √ a) ) : (a + 1)/( a − 1) với a > 0 , a ≠ 1 . a) Chứng minh rằng T = 2 ( a − 1 ) /(a + 1) .

Hướng dẫn giải

a) Với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\], ta có:

\[T = \left( {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{a - \sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{a + \sqrt a }}} \right):\frac{{a + 1}}{{a - 1}}\]

 \[ = \left[ {\frac{{a\sqrt a - 1}}{{\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{a\sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

 \[ = \left[ {\frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} - \frac{{\left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }}} \right] \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{\left( {a\sqrt a - 1} \right)\left( {\sqrt a + 1} \right) - \left( {a\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{{a^2} + a\sqrt a - \sqrt a - 1 - {a^2} + a\sqrt a - \sqrt a + 1}}{{\left( {\sqrt a + 1} \right)\left( {\sqrt a - 1} \right)\sqrt a }} \cdot \frac{{a - 1}}{{a + 1}}\]

\[ = \frac{{2a\sqrt a - 2\sqrt a }}{{\left( {a + 1} \right)\sqrt a }}\]

\[ = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].

Vậy với \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\] ta được \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}}\].

b) Ta có: \[T = \frac{{2\left( {a - 1} \right)}}{{a + 1}} = \frac{{2a - 2}}{{a + 1}} = \frac{{2a + 2 - 4}}{{a + 1}} = 1 - \frac{4}{{a + 1}}\].

Do đó, để \[T \in \mathbb{Z}\] thì \[\frac{4}{{a + 1}}\] là số nguyên.

Suy ra \[a + 1\] là Ư(4).

Vì điều kiện \[a > 0,{\rm{ }}a \ne 1\] nên ta có \[a + 1 = 4\] suy ra \[a = 3.\]

Vậy \[a = 3\] là giá trị cần tìm.