Cho biểu thức P = x+ y/ căn bậc hai x - căn bậc hai y

Cho biểu thức \({\rm{P}} = \frac{{{\rm{x}} + {\rm{y}}}}{{\sqrt {\rm{x}} - \sqrt {\rm{y}} }}:\left( {\frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{y}} }} - \frac{{\rm{x}}}{{\sqrt {{\rm{xy}}} + {\rm{y}}}} - \frac{{\sqrt {{\rm{xy}}} }}{{\sqrt {{\rm{xy}}} - {\rm{x}}}}} \right)\) và biểu thức \({\rm{Q}} = \frac{{{\rm{x}}\sqrt {\rm{x}} - {\rm{y}}\sqrt {\rm{y}} - {\rm{x}}\sqrt {\rm{y}} + {\rm{y}}\sqrt {\rm{x}} }}{{2\left( {\sqrt {\rm{x}} - \sqrt {\rm{y}} {\rm{\;}}} \right)}}\) với \({\rm{x}} > 0,{\rm{\;y}} > 0\) và \({\rm{x}} \ne {\rm{y}}\). Rút gọn các biểu thức P, Q và chứng minh rằng với các số x, y dương phân biệt tuỳ ý thì 4Q+1>2P.

\(P = \sqrt x + \sqrt y \Rightarrow 2P = 2\sqrt x + 2\sqrt y \)

\(Q = \frac{{x + y}}{2} \Rightarrow 4Q + 1 = 2\left( {x + y} \right) + 1\)

Nhân hai vế của biểu thức \(4Q + 1 - 2P\) cho 2

\(2\left( {4Q + 1 - 2P} \right) = 4x + 4y + 2 - 4\sqrt x - 4\sqrt y \)

\( = {\left( {2\sqrt x - 1} \right)^2} + {\left( {2\sqrt y - 1} \right)^2}\)

Ta có \(x \ne y \Rightarrow 2\left( {4Q + 1 - 2P} \right) > 0\)\( \Rightarrow 4Q + 1 > 2P\)