Cho biểu thức P ( x ) = x^99 − 100 x^98 + 100 x^97 − 100 x^96 + . . . + 100x − 1 . Tính P ( 99 ) .

Hướng dẫn giải

Nhận thấy \(100 = 99 + 1 = x + 1\). Do đó, với \(x = 99,\) thay \(100 = x + 1\) ta được:

\(P\left( x \right) = {x^{99}} - 100{x^{98}} + 100{x^{97}} - 100{x^{96}} + ... + 100x - 1\)

\(P\left( {99} \right) = {x^{99}} - \left( {x + 1} \right){x^{98}} + \left( {x + 1} \right){x^{97}} - \left( {x + 1} \right){x^{96}} + ... + \left( {x + 1} \right)x - 1\)

           \( = {x^{99}} - {x^{99}} - {x^{98}} + {x^{98}} + {x^{97}} - {x^{97}} - {x^{96}} + ... + {x^2} + x - 1\)

           \( = \left( {{x^{99}} - {x^{99}}} \right) + \left( { - {x^{98}} + {x^{98}}} \right) + \left( {{x^{97}} - {x^{97}}} \right) + \left( { - {x^{96}} + {x^{96}}} \right)... + \left( { - {x^2} + {x^2}} \right) + x - 1\)

           \( = x - 1 = 99 - 1 = 98\).

Vậy \(P\left( {99} \right) = 98\).