Cho biểu thức: P = ( 1 / (căn bậc hai của x + 3) + 5 / (căn bậc hai của x − 3) − 6 / (9 − x) ) : 6 / (căn bậc hai của x + 2)
a) Điều kiện : \(x \ge 0;x \ne 9\). Khi đó ta có
\(P = \frac{{\left( {\sqrt x - 3} \right) + 5\left( {\sqrt x + 3} \right) + 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{\sqrt x - 3 + 5\sqrt x + 15 + 6}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{6\sqrt x + 18}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6}\)
\( = \frac{{6\left( {\sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x + 3} \right)\left( {\sqrt x - 3} \right)}} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{6} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}}\)
Ta có \(P = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 3}} = \frac{{\sqrt x - 3 + 5}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{5}{{\sqrt x - 3}}\).
P có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \frac{5}{{\sqrt x - 3}}\) có giá trị nguyên\( \Leftrightarrow \sqrt x - 3 \in U\left( 5 \right) \Leftrightarrow \sqrt x - 3 \in \left\{ { \pm 1; \pm 5} \right\}\)
Ta có bảng sau :
\(\sqrt {\rm{x}} - 3\) | 1 | -1 | 5 | -5 |
\(\sqrt {\rm{x}} \) | 4 | 2 | 8 | -2 |
\({\rm{x}}\) | 16 | 4 | 64 | \(\parallel \) |
Vậy khi \(x \in \left\{ {4,16,64} \right\}\) thì \(P\) có giá trị nguyên.