Cho biểu thức M = (căn bậc hai của x)/(căn bậc hai của x + 1) + (2căn bậc hai của x − 1)/(2x − 1) với x ≥ 0, x khác 1. a) Rút gọn biểu thức M.

a) Với \(x \ge 0,x \ne 1\) ta có:

\(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 1}} + \frac{2}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} + \frac{{2\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} - \frac{2}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x - \sqrt x  + 2\sqrt x  + 2 - 2}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\( = \frac{{x + \sqrt x }}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\)

\[ = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  + 1} \right)\left( {\sqrt x  - 1} \right)}}\]

\( = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\).

Vậy với \(x \ge 0,x \ne 1\) thì \(M = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}}\).

b) Với \(x \ge 0,x \ne 1\) ta có:

\(M < \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} < \frac{1}{2}\)

\(\frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  - 1}} - \frac{1}{2} < 0\)

\(\frac{{2\sqrt x  - \left( {\sqrt x  - 1} \right)}}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} < 0\)

\(\frac{{\sqrt x  + 1}}{{2\left( {\sqrt x  - 1} \right)}} < 0\).

Xét thấy \(x \ge 0\) do đó \(\sqrt x  + 1 > 0\) suy ra \(\frac{{\sqrt x  + 1}}{{2(\sqrt x  - 1)}} < 0\) khi và chỉ khi \(\sqrt x  - 1 < 0\) hay \(\sqrt x  < 1\) suy ra \(x < 1\).

Kết hợp điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) suy ra \(0 \le x < 1\).

Vậy \(0 \le x < 1\) thì \(M < \frac{1}{2}\).