Cho biểu thức f(x) = 4^x - (2.2^(x + 1) + 3)

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

Ta có \(f\left( x \right) = {4^x} - {2.2^{x + 1}} + 3\)\( = {4^x} - {4.2^x} + 3\)\( = \left( {{2^x} - 1} \right)\left( {{2^x} - 3} \right)\).

a) Do đó \(f\left( x \right) < 0 \Leftrightarrow 1 < {2^x} < 3 \Leftrightarrow 0 < x < {\log _2}3\).

b) \(f\left( x \right) \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} \ge 3\\{2^x} \le 1\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge {\log _2}3\\x \le 0\end{array} \right.\)\( \Rightarrow x \in \left( { - \infty ;0} \right] \cup \left[ {{{\log }_2}3; + \infty } \right)\).

c) Theo câu a, \(0 < x < {\log _2}3 < 2\).

Vậy bất phương trình \(f\left( x \right) < 0\) có đúng một nghiệm nguyên dương \(x = 1\).

d) \(f\left( x \right) = {4^x} - {2.2^{x + 1}} + 3\)\( = {4^x} - {4.2^x} + 3\)\( = {\left( {{2^x} - 2} \right)^2} - 1 \ge  - 1\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow {2^x} - 2 = 0 \Leftrightarrow x = 1\).