Cho biểu thức  A = căn x / x(căn x -1) + 1/ (căn x-1) và B = căn x+1 / x+ (căn x +1) với x ≥ 0; x ≠ 1 a) Tính giá trị của biểu thức B khi x = 4

a) Thay \(x = 4\) (TMĐK) vào biểu thức B ta được

\(B = \frac{{\sqrt 4 + 1}}{{4 + \sqrt 4 + 1}} = \frac{{2 + 1}}{{4 + 2 + 1}} = \frac{3}{7}\).

Vậy \(B = \frac{3}{7}\) khi \(x = 4\).

b) \(P = A:B\)\( = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{x\sqrt x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x - 1}}} \right]:\frac{{\sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\)

\( = \left[ {\frac{{\sqrt x }}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} + \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}} \right].\frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x + 1}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}.\frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}} \cdot \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 1}}\)\( = \frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

Vậy P = \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\).

c) Ta có P = \(\frac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}} = \frac{{\sqrt x - 1 + 2}}{{\sqrt x - 1}} = 1 + \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\)

Để P nguyên thì \(\sqrt x - 1\, \in \,U\left( 2 \right) = \left\{ {1; - 1;2; - 2} \right\}\)

Ta có bảng sau:

Vậy \(x \in \left\{ {0;4;9} \right\}\).