Cho biểu thức A = căn bậc 2( x) /căn bậc 2(x) - 1 - 2/(căn bậc 2(x) + 2) + 4căn bậc 2(x) + 2) + căn bậc 2(x) + 2) + căn bậc 2(x) - 2

1/8

Cho biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}}\) với \(x \ge 0;\,\,x \ne 1.\)

1) Tính giá trị của biểu thức \[B\] khi \(x = 9.\)

2) Chứng minh rằng \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.\)

3) Đặt \(T = 4 - \frac{3}{2}AB.\) Tìm các giá trị của \(x\) để biểu thức \(T\) nhận giá trị nguyên lớn nhất.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

1) Thay \(x = 9\) (thoả mãn điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 1)\) vào biểu thức \[B\] ta được:

\(B = \frac{{\sqrt 9 - 1}}{{\sqrt 9 + 1}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}.\)

Vậy khi \(x = 9\) thì \(B = \frac{1}{2}.\)

2) Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:

\(A = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x - 1}} - \frac{2}{{\sqrt x + 2}} + \frac{{4\sqrt x + 2}}{{x + \sqrt x - 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt x \left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} - \frac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} + \frac{{4\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 2\sqrt x - 2\sqrt x + 2 + 4\sqrt x + 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{x + 4\sqrt x + 4}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{{\left( {\sqrt x + 2} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.\)

Vậy \(A = \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}}.\)

3) Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1,\) ta có:

\(T = 4 - \frac{3}{2}AB = 4 - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x - 1}} \cdot \frac{{\sqrt x - 1}}{{\sqrt x + 1}} = 4 - \frac{3}{2} \cdot \frac{{\sqrt x + 2}}{{\sqrt x + 1}}\)

\[ = \frac{{4 \cdot 2\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3\left( {\sqrt x + 2} \right)}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]\[ = \frac{{8\sqrt x + 8 - 3\sqrt x - 6}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\]

\( = \frac{{5\sqrt x + 2}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{{5\left( {\sqrt x + 1} \right) - 3}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = \frac{5}{2} - \frac{3}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}}.\)

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \(\sqrt x + 1 > 0\) nên \(\frac{3}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} > 0\) suy ra \(\frac{5}{2} - \frac{3}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} < \frac{5}{2}.\)

Vì \[T\] nhận giá trị nguyên lớn nhất nên \(T = 2,\) tức là \(\frac{{5\sqrt x + 2}}{{2\left( {\sqrt x + 1} \right)}} = 2,\) suy ra \(5\sqrt x + 2 = 4\sqrt x + 4\) hay \(\sqrt x = 2,\) ta tìm được \(x = 4\) (thoả mãn điều kiện \(x \ge 0,\,\,x \ne 1).\)

Vậy khi \(x = 4\) thì \[T\] đạt giá trị nguyên lớn nhất.