Cho biết Sn= 5+55+555+...+555..5 . Giá trị của Sn là

5/10

Cho biết \[{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots .5\]. Giá trị của S_n là

\[\frac{{10}}{{21}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];

\[\frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];

\[\frac{{10}}{9}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\];

Đáp án khác

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Nhận xét: \[9\left( {5 + 55 + 555 + \ldots + 555 \ldots 5} \right)\]

\[ = 5.\left( {9 + 99 + 999 + 9999 \ldots 9} \right)\]

Do đó: \[{{\rm{S}}_{\rm{n}}} = 5 + 55 + 555 + . + 555 \ldots 5\]

\[ = \frac{5}{9}\left( {9 + 99 + 999 + \ldots + 999 \ldots 9} \right)\]

\[ = \frac{5}{9} \cdot \left[ {(10 - 1) + (100 - 1) + (1000 - 1) + .. + \left( {{{10}^n} - 1} \right)} \right]\]

\[ = \frac{5}{9}\left[ {\left( {10 + {{10}^2} + {{10}^3} + .. + {{10}^n}} \right) - n} \right]\]

\[ = \frac{5}{9} \cdot \left[ {10 \cdot \frac{{1 - {{10}^n}}}{{1 - 10}} - n} \right] = \frac{{50}}{{81}}\left( {{{10}^n} - 1} \right) - \frac{{5n}}{9}\].

Ta có 10 + 10² + 10³ + ..+ 10ⁿ là tổng của cấp số nhân với số hạng đầu u₁ =10 và công bội q = 10.

Do đó \[10 + {10^2} + {10^3} + .. + {10^{\rm{n}}} = \frac{{10 \cdot \left( {1 - {{10}^n}} \right)}}{{1 - 10}}\].