Cho biết phương trình 2(x^2) - 3x - 1 = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1;x2. Không giải phương trình, hãy tính giá trị của biểu thức A = x1 (x_^3 - 2)+ x2 (x1^3 - 2) - 2(x1x2)

Hướng dẫn giải

a) Phương trình \(2{x^2} - 3x - 1 = 0\).

Ta có \(\Delta  = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 \cdot 2 \cdot \left( { - 1} \right) = 17 > 0\).

Vậy phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt.

b) Áp dụng định lí Viète, ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} =  - \frac{b}{a} = \frac{3}{2}\\{x_1} \cdot {x_2} = \frac{c}{a} = \frac{{ - 1}}{2}\end{array} \right.\].

Ta có \[x_1^2 + x_2^2 = \left( {x_1^2 + x_2^2 + 2{x_1}{x_2}} \right) - 2{x_1}{x_2} = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {\left( {\frac{3}{2}} \right)^2} - 2.\left( { - \frac{1}{2}} \right) = \frac{{13}}{4}\].

Khi đó \(A = {x_1}\left( {x_2^3 - 2} \right) + {x_2}\left( {x_1^3 - 2} \right) - 2{x_1}{x_2}\)

\( = {x_1}x_2^3 - 2{x_1} + {x_2}x_1^3 - 2{x_2} - 2{x_1}{x_2}\)

\( = {x_1}{x_2}\left( {x_1^2 + x_2^2} \right) - 2\left( {{x_1} + {x_2}} \right) - 2 \cdot \left( { - \frac{1}{2}} \right)\)

\( =  - \frac{1}{2} \cdot \frac{{13}}{4} - 2 \cdot \frac{3}{2} + 1\)\( =  - \frac{{29}}{8}\).