Cho biết bốn đoạn thẳng nối từ một đỉnh của tứ diện đến trọng tâm mặt đối diện luôn cắt nhau tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện đó

Gọi G là trọng tâm của tứ diện đều \({\rm{ABCD}}\).

Đặt \(\vec a = \overrightarrow {GA} ,\vec b = \overrightarrow {GB} ,\vec c = \overrightarrow {GC} ,\vec d = \overrightarrow {GD} \)

Ta có \(|\vec a| = |\vec b| = |\vec c| = |\vec d|\) va` \(\vec a \cdot \vec b = \vec a \cdot \vec c = \vec a \cdot \vec d = \vec b \cdot \vec c = \vec b \cdot \vec d = \vec c \cdot \vec d\)

Ta có \(\vec a + \vec b + \vec c + \vec d = \overrightarrow {GA}  + \overrightarrow {GB}  + \overrightarrow {GC}  + \overrightarrow {GD}  = \vec 0\)

\[\begin{array}{l} \Rightarrow {\left( {\overrightarrow a  + \overrightarrow b  + \overrightarrow c  + \overrightarrow d } \right)^2} = 0\\ \Rightarrow {\overrightarrow a ^2} + {\overrightarrow b ^2} + {\overrightarrow c ^2} + {\overrightarrow d ^2} + 2\overrightarrow a .\overrightarrow b  + 2\overrightarrow a .\overrightarrow c  + 2\overrightarrow a .\overrightarrow d  + 2\overrightarrow b .\overrightarrow c  + 2\overrightarrow b .\overrightarrow d  + 2\overrightarrow c .\overrightarrow d  = 0\\ \Rightarrow 4{\overrightarrow a ^2} + 12\overrightarrow a .\overrightarrow b  = 0 \Rightarrow \frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{{{\overrightarrow a }^2}}} =  - \frac{1}{3}hay\frac{{\overrightarrow a .\overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|}} =  - \frac{1}{3}\\ \Rightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) =  - \frac{1}{3} \Rightarrow \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) \approx 109,5\end{array}\]

Vậy góc liên kết gần bằng 109,5