Cho bất phương trình: (m − 2)x^2 + 2(4 − 3m)x + 10m − 11 ≤ 0 (1). Gọi S là tập hợp các số nguyên dương m để bất phương trình đúng với mọi x < −4. Tìm số phần tử của S.

Lời giải

(m − 2)x² + 2(4 − 3m)x + 10m −11 ≤ 0

Û2x² − 8x + 11 ≥ m(x² − 6x + 10) (∀x < −4)

\( \Leftrightarrow \frac{{2{x^2} - 8x + 11}}{{{x^2} - 6x + 10}} \ge m\) (∀x < −4).

Đặt \(g\left( x \right) = \frac{{2{x^2} - 8x + 11}}{{{x^2} - 6x + 10}} \Rightarrow m \le \mathop {\min }\limits_{x < - 4} g\left( x \right)\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = \frac{{ - 4{x^2} + 18x - 14}}{{{{\left( {{x^2} - 6x + 10} \right)}^2}}} = \frac{{ - {{\left( {2x - \frac{9}{2}} \right)}^2} - \frac{{25}}{4}}}{{{{\left( {{x^2} - 6x + 10} \right)}^2}}} < 0\;\left( {\forall x < - 4} \right)\)

\( \Rightarrow g\left( x \right) > g\left( { - 4} \right)\;\left( {\forall x < - 4} \right)\)

\( \Rightarrow m \le g\left( { - 4} \right) = \frac{3}{2}\).

Với m là số nguyên dương nên m = 1.