Cho bất phương trình  Giá trị thực của tham số  để bất phương trình trên có nghiệm duy nhất thuộc khoảng nào sau đây?

Đặt m=3a khi đó bất phương trình đã cho trở thành

logm11+log17x2+mx+10+4.logmx2+mx+12≥0        1

Điều kiện của bất phương trình là m>0;m≠1;x2+mx+10≥0. Ta có:

1⇔1−log7x2+mx+10+4.log11x2+mx+12log11m≥0         2

Đặt u=x2+mx+10,u≥0.

* Với 0<m<1. Ta có

            2⇔fu=log7u+4.log11u+2≥1=f9.      3

Vì fu là hàm tăng trên 0;+∞ nên từ 3 ta có

            fu≥f9⇔u≥9⇔x2+mx+1≥0.       4

4 vô số nghiệm vì Δ=m2−4<0 với ∀m∈0;1. Suy ra 0<m<1 không thỏa bài toán.

* Với m>1. Ta có

            2⇔fu≤f9⇔0≤u≤9⇔x2+mx+10≥0    5x2+mx+1≤0       6

Xét 6, ta có Δ=m2−4.

            + m2−4<0⇔1<m<2 thì 6 vô nghiệm. Không thỏa bài toán.

            + m2−4>0⇔m>2 thì 6 có nghiệm là đoạn x1;x2, lúc này 5 nhận hơn 1 số của x1;x2 làm nghiệm. Không thỏa bài toán.

            + m2−4=0⇔m=2 thì 6 có nghiệm duy nhất x=−1 và x=−1 thỏa 5. Do đó bất phương trình có nghiệm duy nhất là x=−1.

Vậy m=2⇔a=23.

Chọn đáp án C.