Cho ba số x, y, z dương và đôi một khác nhau thỏa mãn 1/x+1/y+1/z=0 Tính giá trị của biểu thức: A=xy/x^2+2yz+xz/y^2+2xz+xy/x^2+2xy .

Ta có:  1x+1y+1z=0⇔xy+yz+xzxyz=0.

Mà ba số x, y, z dương nên: xyz > 0.

Nên: xy + yz + xz = 0

Ûyz = – xy – xz.

Ta có: x² + 2yz = x² + yz – xy – xz

= x(x – y) – z(x – y) = (x – y)(x – z).

Tương tự: y² + 2xz = (y – x)(y – z);

z² + 2xy = (z – x)(z – y).

Do đó: A=yzx2+2yz+xzy2+2xz+xyz2+2xy

=yz(x−y)(x−z)+xz(y−x)(y−z)+xy(z−x)(z−y)

=−yz(y−z)(x−y)(y−z)(z−x)−xz(z−x)(x−y)(y−z)(z−x)−xy(x−y)(x−y)(y−z)(z−x)

=−yz(y−z)−xz(z−x)−xy(x−y)(x−y)(y−z)(z−x)

=−yz(y−z)+xz(y−z)+xz(x−y)−xy(x−y)(x−y)(y−z)(z−x)

=(y−z)(xz−yz)+(x−y)(xz−xy)(x−y)(y−z)(z−x)

=z(x−y)(y−z)−x(x−y)(y−z)(x−y)(y−z)(z−x)

=(x−y)(y−z)(z−x)(x−y)(y−z)(z−x)=1.

Vậy A=yzx2+2yz+xzy2+2xz+xyz2+2xy=1.