Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 1. Chứng minh rằng:

Đặt a4=x,b4=y,c4=z=> xyz = 1, x, y, z > 0

Suy ra ta cần chứng minh

A=1x2+2y2+3+1y2+2z2+3+1z+22x2+3≤12

 

Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:

x² + 2y² + 3 = (x² + y²) + (y² + 1) + 2 ≥ 2xy + 2y + 2 = 2(xy + y + 1)

⇒1x2+2y2+3≤121xy+y+1

Tương tự ta được:

1y2+2z2+3≤121yz+z+11z2+2x2+3≤121zx+x+1

Cộng vế theo vế ta được:

A≤121xy+y+1+1yz+z+1+1zx+x+1

 

Xét vế phải ta có

121xy+y+1+1yz+z+1+1zx+x+1=121xy+y+1+xyzyz+z+xyz+xyzzx+x+xyz=121xy+y+1+xyy+1+xy+yzz+1+yz=121xy+y+1+xyy+1+xy+yzz+xyz+yz=121xy+y+1+xyy+1+xy+y1+xy+y=121+xy+yxy+y+1=12

Vậy A≤12 (điều phải chứng minh).