Cho ba số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca = 3abe. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Theo bài ra, ta có:  a, b, c > 0 và ab + bc + ca = 3abc Û\(\frac{1}{a}\) + \(\frac{1}{b}\) + \(\frac{1}{c}\) = 3

Đặt \(\frac{1}{a}\) là x; \(\frac{1}{b}\) là y; \(\frac{1}{c}\) là z (x, y, z > 0; x + y + z = 3)

Suy ra: \(\sqrt {\frac{a}{{3{b^2}{c^2} + abc}}} \) + \(\sqrt {\frac{{\frac{1}{x}}}{{\frac{3}{{{y^2}{z^2}}}\; + \frac{1}{{xyz}}}}} \) + \(\sqrt {\frac{{{y^2}{z^2}}}{{x\left( {x + y + z} \right) + yz}}} \)= \(\sqrt {\frac{{{y^2}{z^2}}}{{3x + xy}}} \)

Suy ra: T £\(\frac{1}{2}\left( {\frac{{yz + zx}}{{x + y}} + \frac{{yz + yx}}{{x + z}} + \frac{{xy + zx}}{{y + z}}} \right)\) = \(\frac{1}{2}\) (x + y + z) = \(\frac{3}{2}\)

Dấu “=” xảy ra Û a = b = c = 1