Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: {a^2} + {b^2} + {c^2} = 3. Chứng minh ab + bc + ca + a + b + c < 6

Với mọi \(a,b \in \mathbb{R}\), ta có

\[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\] hay \[{a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\], suy ra \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab\]

Tương tự ta có \[{b^2} + {c^2} \ge 2bc\,;\,\,{c^2} + {a^2} \ge 2ac\]với mọi \(a,b,c \in \mathbb{R}\)

Khi đó \[2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\]

Mà \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\] nên \[2 \cdot 3 \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\] hay \[ab + bc + ca \le 3 & \left( 1 \right)\]

Mặt khác, với mọi \(a \in \mathbb{R}\) ta có

\[{\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0\] hay \[{a^2} - 2a + 1 \ge 0\] suy ra \[{a^2} + 1 \ge 2a\].

Tương tự, ta có \[{b^2} + 1 \ge 2b\,;\,\,{c^2} + 1 \ge 2c\]với mọi \[b,\,\,c \in \mathbb{R}\].

Suy ra \[3 + 3 \ge 2\left( {a + b + c} \right)\] nên \[a + b + c \le 3 & \left( 2 \right)\]

Cộng \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] theo vế ta được \[ab + bc + ca + a + b + c \le 3 + 3 = 6.\]