Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn: {a^2} + {b^2} + {c^2} = 3. Chứng minh ab + bc + ca + a + b + c < 6

Vì \[{\left( {a - b} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[a,\,\,b \in \mathbb{R}\] hay \[{a^2} - 2ab + {b^2} \ge 0\] với mọi \[a,\,\,b \in \mathbb{R}\].

Suy ra \[{a^2} + {b^2} \ge 2ab\]với mọi \[a,\,\,b \in \mathbb{R}\].

Tương tự ta có \[{b^2} + {c^2} \ge 2bc\,;\,\,{c^2} + {a^2} \ge 2ac\]với mọi \[a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}\].với mọi \[a,\,\,b,\,\,c \in \mathbb{R}\].

Khi đó \[2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) = \left( {{a^2} + {b^2}} \right) + \left( {{b^2} + {c^2}} \right) + \left( {{c^2} + {a^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\]

Mà \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 3\] nên \[2 \cdot 3 \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\] hay $ab +bc +ca < 3 \left(1\right)$

Mặt khác, \[{\left( {a - 1} \right)^2} \ge 0\] với mọi \[a \in \mathbb{R}\] hay \[{a^2} - 2a + 1 \ge 0\] với mọi \[a \in \mathbb{R}\].

Suy ra \[{a^2} + 1 \ge 2a\]với mọi \[a \in \mathbb{R}\].

Tương tự, ta có \[{b^2} + 1 \ge 2b\,;\,\,{c^2} + 1 \ge 2c\]với mọi \[b,\,\,c \in \mathbb{R}\].

Suy ra\[3 + 3 \ge 2\left( {a + b + c} \right)\] nên $a+b+c <3 \left(2\right)$

Cộng \[\left( 1 \right)\] và \[\left( 2 \right)\] theo vế ta được\[ab + bc + ca + a + b + c \le 3 + 3 = 6.\]