Cho ba số dương có tổng bằng 65 lập thành một cấp số nhân tăng. Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba thì ta được một cấp số cộng và không đổi vị trí. Tính tích

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: 3375

Gọi \[{u_1};{u_2};{u_3}\] theo thứ tự là ba số cần tìm lập thành một cấp số nhân.

Vì tổng của \[{u_1};{u_2};{u_3}\] là \[65\], do đó \[{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\].

Nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và \[19\] đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng nên ta có phương trình sau:

\[{u_1} - 1 + {u_3} - 19 = 2{u_2}\] hay \[{u_1} - 2{u_2} + {u_3} = 20\].

Từ đây ta có hệ phương trình sau:

\[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\\{u_1} - 2{u_2} + {u_3} = 20\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\\3{u_2} = 45\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_2} + {u_3} = 65\\{u_2} = 15\end{array} \right.\].

Lúc này, suy ra \[\left\{ \begin{array}{l}{u_1} + {u_3} = 50\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{u_1}\left( {1 + {q^2}} \right) = 50\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{{1 + {q^2}}}{q} = \frac{{10}}{3}\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}q = 3\\q = \frac{1}{3}\end{array} \right.\\{u_1}.q = 15\end{array} \right.\].

Vì \[{u_1};{u_2};{u_3}\] theo thứ tự là một cấp số nhân tăng nên \[q = 3\] thỏa mãn.

Khi đó, \[{u_1} = 5;{u_2} = 15;{u_3} = 45.\]

Tích ba số đó là: \[5.15.45 = 3375\].