Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện \[\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }},\frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }},\frac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}\] lập thành một cấp số cộng. Mệnh đề nào dưới đây l

Ta có

\[\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{1}{{\sqrt b + \sqrt c }} + \frac{1}{{\sqrt a + \sqrt b }} = \frac{2}{{\sqrt c + \sqrt a }}}\\{ \Leftrightarrow \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right) + \left( {\sqrt c + \sqrt a } \right)\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right) = 2\left( {\sqrt b + \sqrt c } \right)\left( {\sqrt a + \sqrt b } \right)}\\{ \Leftrightarrow \sqrt {ac} + \sqrt {bc} + a + \sqrt {ab} + \sqrt {bc} + c + \sqrt {ab} + \sqrt {ac} = 2\sqrt {ab} + 2b + 2\sqrt {ac} + 2\sqrt {bc} }\\{ \Leftrightarrow a + c = 2b}\end{array}\]

Khi đó a,b,c lập thành một cấp số cộng.

Đáp án cần chọn là: A