Cho ba số dương a,b,c lập thành cấp số nhân. Dãy số nào dưới đây lập thành cấp số nhân?

6/10

\[\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {\frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)} ;\,\sqrt[3]{{abc}};\]

\[\frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {\frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)} ;\,\sqrt[3]{{abc}};\]

\[\frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {\frac{1}{3}(ab + bc + ca)} ;\,\sqrt[3]{{3abc}};\]

\[\left( {a + b + c} \right);\,\sqrt {ab + bc + ca} ;\,\sqrt[3]{{abc}}.\]

Giải thích

Đáp án đúng là: B

Ta có a, b và c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ac = b².

Ta chứng minh:

\[\frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right) \cdot \sqrt[3]{{abc}} = {\left[ {\sqrt {\frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)} } \right]^2}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)\sqrt[3]{{{b^3}}} = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {a + b + c} \right)b = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {ab + {b^2} + cb} \right) = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right) = \frac{1}{3}\left( {ab + bc + ca} \right)\] (luôn đúng)