Cho ba số a, b, c thỏa mãn a^2 + b^2 + c^2 < 18 Chứng minh rằng 3ab + bc + ca > - 27

Ta có: \({\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\)

Mà \({\left( {a + b + c} \right)^2} \ge 0\) với mọi số \(a,\,\,b,\,\,c\)nên \({a^2} + {b^2} + {c^2} + 2\left( {ab + bc + ca} \right) \ge 0\)

Suy ra \(ab + bc + ca \ge \frac{{ - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2}\)

Lại có \[{a^2} + {b^2} + {c^2} \le 18\] nên \[ - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge - 18\]

Do đó \(ab + bc + ca \ge \frac{{ - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)}}{2} \ge \frac{{ - 18}}{2} = - 9\).   (1)

Mặt khác, \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0\) nên \({a^2} + {b^2} \ge - 2ab\) hay \(2ab \ge - \left( {{a^2} + {b^2}} \right)\)

Mà \( - \left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\) và \( - \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge - 18\)

Nên \(2ab \ge - 18\).    (2)

Cộng từng vế của (1) và (2) ta được:

\(3ab + bc + ca \ge \left( { - 9} \right) + \left( { - 18} \right) = - 27\).