Cho ba đường thẳng ( d1 ) : x − 2y = − 3 ; ( d2 ) : căn 2x + y = căn 2 + 2 ;

1. Tọa độ giao điểm của \(\left( {{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là nghiệm của hệ phương trình

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x - 2y =  - 3}\\{\sqrt 2 x + y = \sqrt 2  + 2}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 2}\end{array}} \right.\)

Vậy tọa độ giao điểm của \(\left( {\,{d_1}} \right)\) và \(\left( {{d_2}} \right)\) là \(M(\,1;2\,)\).

Ba đường thẳng \(\left( {\,{d_1}\,} \right);\left( {\,{d_2}} \right)\) và \(\left( {\,{d_m}} \right)\) đồng quy khi và chỉ khi \(M \in \left( {\,{d_m}\,} \right)\) nên

\(m \cdot 1 - (\,1 - 2m\,) \cdot 2 = 5 - m\) hay \(m = \frac{7}{6}.\)

Vậy với \(m = \frac{7}{6}\) thì ba đường thẳng \(\left( {\,{d_1}\,} \right);\left( {\,{d_2}\,} \right)\) và \(\left( {\,{d_m}\,} \right)\) đồng quy.

2. Đặt \(E\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) là điểm cố định thuộc \(\left( {{d_m}} \right)\).

Khi đó \(m{x_0} - (\,1 - 2m\,){y_0} = 5 - m,\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

\(\left( {\,{x_0} + 2{y_0} + 1\,} \right)m = {y_0} + 5,\) với mọi \(m \in \mathbb{R}\)

Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} + 2{y_0} + 1 = 0}\\{{y_0} + 5 = 0}\end{array}} \right.\) hay \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} = 9}\\{{y_0} =  - 5.}\end{array}} \right.\)

Vậy điểm cố định mà \(\left( {{d_m}} \right)\) luôn đi qua là \(E(9; - 5)\).