Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH, lấy I là trung điểm AC. Gọi K và D thứ tự là trung điểm

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

⦁ Trong ∆AHC vuông tại H, dễ dàng chứng minh được \[AI = CI = HI = \frac{1}{2}AC.\]

Do đó I cách đều ba đỉnh của tam giác nên I là giao điểm ba trung trực của ∆AHC.

⦁ Ta có AH ⊥ BC, DI ⊥ BC suy ra AH // DI nên \[\widehat {KDI} = \widehat {HKD}\] (so le trong);

AH ⊥ BC, IK ⊥ AK suy ra IK // BC nên \[\widehat {HDK} = \widehat {IKD}\] (so le trong).

Xét ∆KHD và ∆DIK có:

\[\widehat {HKD} = \widehat {KDI};\]KD là cạnh chung; \[\widehat {HDK} = \widehat {IKD}\]

Do đó ∆KHD = ∆DIK (g.c.g).

Suy ra HK = ID, HD = IK (các cặp cạnh tương ứng)

Xét ∆KDH (vuông tại H) và ∆ICD (vuông tại D) có:

HK = ID (chứng minh trên);

HD = DC (do DI là trung trực của HC).

Do đó ∆KDH = ∆IDC (hai cạnh góc vuông).

Suy ra \[\widehat {KDH} = \widehat {ICD}\] (hai góc tương ứng)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên DK // AC.

Lại có AB ⊥ AC nên DK ⊥ AB

Trong ∆ABD có: AH ⊥ BD (giả thiết), DK ⊥ AB và AH cắt DK tại K

Do đó K là trực tâm ∆ABD, suy ra BK ⊥ AD.