Cho Δ ABC vuông tại A , ˆ BAC = 90 ∘ ( AB ≤ AC ) . Đường tròn ( I ) nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC tại D . Kết quả nào sau đây là đúng?

13/15

Cho \[\Delta ABC\] vuông tại \[A\], $\widehat {BAC} = 90^\circ \,\,\left( {AB{\rm{ }} \le {\rm{ }}AC} \right)$. Đường tròn \[\left( I \right)\] nội tiếp tam giác \[ABC\] tiếp xúc với \[BC\] tại \[D\]. Kết quả nào sau đây là đúng?

$BD = \frac{{BC + AB - AC}}{2}$.

$BC = \frac{{BD + AB - AC}}{2}$.

$BD = \frac{{BC + AB + AC}}{2}$.

$BD = \frac{{BC - AB + AC}}{2}$.

Giải thích

Chọn A

$Ta có: \[A{B^2} + A{C^2 (ảnh 1)$

Gọi \[E,{\rm{ }}F\] là tiếp điểm của đường tròn \[\left( I \right)\] với các cạnh \[AB,{\rm{ }}AC\].

Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có: \[AE = AF;{\rm{ }}BE = BD;\,\,CD = CF\].

Do đó 2BD=BD+BE =BC–CD+AB–AE

=BC+AB–CD+AE =BC+AB–CF+AF

=BC+AB–AC

Suy ra \[BD = \frac{{BC + AB - AC}}{2}\].