Cho Δ ABC với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào sau đây là đúng?

6/22

Cho \(\Delta ABC\) với H, O, G lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp trọng tâm. Hệ thức nào sau đây là đúng?

\(\overrightarrow {OH} = \frac{3}{2}\overrightarrow {OG} \)

\(\overrightarrow {HO} = 3\overrightarrow {OG} \)

\(\overrightarrow {OG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GH} \)

\(2\overrightarrow {GO} = - 3\overrightarrow {OH} \)

Giải thích

Chọn C

Ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0 \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} \) (1)

Gọi I là trung điểm BC, \(A'\) đối xứng với A qua O.

Dễ thấy \(HBA'C\) là hình bình hành

\( \Leftrightarrow \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA'} \Leftrightarrow \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HB} + \overrightarrow {HC} = \overrightarrow {HA} + \overrightarrow {HA'} = 2\overrightarrow {HO} \)

\( \Leftrightarrow 3\overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {HO} \Leftrightarrow \overrightarrow {OH} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} \) (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {GH} = 3\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {GH} = 2\overrightarrow {OG} \Leftrightarrow \overrightarrow {OG} = \frac{1}{2}\overrightarrow {GH} \).