Cho ∆ABC thỏa mãn sinC = 2sinB.cosA. Khi đó ∆ABC là: A. Tam giác tù; B. Tam giác đều; C. Tam giác vuông cân; D. Tam giác cân.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• Theo hệ quả định lí sin, ta có:

\(\sin C = \frac{c}{{2R}}\) và \(\sin B = \frac{b}{{2R}}\).

• Theo hệ quả của định lí côsin, ta có:

\(\cos A = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\).

• Ta có sinC = 2sinB.cosA

\( \Leftrightarrow \frac{c}{{2R}} = 2.\frac{b}{{2R}}.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\)

\[ \Leftrightarrow c = 2b.\frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}}\]

\[ \Leftrightarrow c = \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{c}\]

⇔ c² = b² + c² – a²

⇔ b² = a²

⇔ b = a (vì a, b > 0)

Hay AC = BC.

Suy ra ∆ABC cân tại C.

Vậy ta chọn phương án D.