Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O) và 2 đường cao BD, CE cắt nhau tại H (D AC, E AB). a) Chứng minh tứ giác BEDC nội tiếp. b) Vẽ đường kính AM của đường tròn (O), AH cắt BC t
a) Ta có: BEC^= 90° (CE ^ AB), BDC^= 90° (BD ^ AC)
Þ BEC^=BDC^ = 90°
Mà BEC^ và BDC^ là hai góc có đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh BC của tứ giác BEDC.
Þ Tứ giác BEDC nội tiếp.
b) Ta có điểm C nằm trên đường tròn (O) đường kính AM
Nên ACM^= 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Mà AH cắt BC tại F nên AF ⊥ BC do đó AFB^=90°
Suy ra ACM^=AFB^ = 90°
Xét ∆ACM và ∆ABF, có:
ACM^=AFB^ = 90° (chứng minh trên),
ABC^=AMC^(hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của (O))
Þ ∆ACM ᔕ ∆AFB (g.g)
Þ ACAF=AMAB (tỉ số đồng dạng)
Þ AB.AC = AF.AM (đpcm).
c) • Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (chứng minh câu a)
Þ EDC^=ECB^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EB)
Hay KDB^=KCE^
Xét DKDB và DKCE có:
KDB^=KCE^ (Chứng minh trên),
DKC^ là góc chung
Þ DKDB ᔕ DKCE (g.g)
⇒KDKC=KBKE (tỉ số đồng dạng)
Þ KB.KC = KD.KE (1)
• Tứ giác ANBC nội tiếp
⇒KBN^=KAC^
Xét DKBN và DKAC có:
AKC^ là góc chung,
KBN^=KAC^ (chứng minh trên)
Þ DKBN ᔕ DKAC (g.g)
⇒KBKA=KNKC (tỉ số đồng dạng)
Þ KB. KC = KA.KN (2)
Từ (1) và (2) ta có:
KD.KE = KA.KN (= KB. KC)
⇒KEKA=KNKD
Xét DKNE và DKAD có:
AKD^ là góc chung,
KEKA=KNKD (chứng minh trên)
Þ DKNE ᔕ DKAD (c.g.c)
⇒KEN^=KAD^ (hai góc tương ứng)
Þ Tứ giác ANED nội tiếp đường tròn.
Do đó 4 điểm A, N, E, D cùng thuộc một đường tròn (3)
• Tứ giác AEHD có AEH^=ADH^=90°
Þ E và D cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Þ 4 điểm A, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH (4)
Từ (3) và (4) suy ra 5 điểm A, N, E, H, D cùng thuộc đường tròn đường kính AH
Do đó tứ giác ANHD nội tiếp đường tròn
⇒ANH^=90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Þ AN ⊥ HN tại N (5)
• Ta có điểm N nằm trên đường tròn đường kính AM
⇒ANM^ = 90° (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Þ AN ⊥ MN tại N (6)
Từ (5) và (6) ta có: MN ≡ HN
Do đó ba điểm N, H, M thẳng hàng.