Cho ∆ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), có các đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Vẽ đường kính AK của đường tròn (O). a) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp đường tròn. b) Gọi D là gia

a) Ta có: BFC^ = 90° (CF là đường cao)

 BEC^= 90° (BE là đường cao)

Xét tứ giác BFEC có  BFC^=BEC^= 90°

Mà 2 đỉnh E, F kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới hai góc bằng nhau.

Vậy tứ giác BFEC nội tiếp.

b) Ta có BE, CF là đường cao trong ∆ABC và BE, CF cắt nhau tại H.

Khi đó, H là trực tâm ∆ABC nên AD là đường cao.

Do đó  ADC^= 90°.

Xét ∆AHE và ∆ACD có:

 DAC^ là góc chung.

 AEH^=ADC^(= 90°).

Do đó ∆AHE  ∽ ∆ACD (g.g).

Suy ra  AHAE=ACAD (cặp cạnh tương ứng).

Vậy AE.AC = AH.AD (đpcm).

c) Gọi Ax là tiếp tuyến đường tròn tâm O.

Ta có:  ABC^=xAC^(cùng chắn cung AC).

 FBC^+FEC^=180°(tứ giác BFEC nội tiếp).

Hay  ABC^+FEC^=180°

Mà  CEF^+AEF^=180°

Suy ra ABC^=AEF^mà  ABC^=xAC^

Do đó  xAC^=AEF^ Þ EF // Ax

Mà Ax ^ OA(tiếp tuyến đường tròn tâm O) hay Ax ^ AK (AK là đường kính)

Suy ra EF ^ AK.

Ta có: AK ^ EF (chứng minh trên) mà MN ^ AK Þ EF // MN

Suy ra  FEM^=EMN^ mà  FEM^=FCB^ (cùng chắn cung BF).

Nên  EMN^=FCB^

Do đó  NMD^=NHD^.

Vậy HNDM nội tiếp (cùng nhìn cạnh ND dưới hai góc bằng nhau).