Cho ∆ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O, đường kính BC lần lượt cắt AB, AC tại M và N; BM và CN giao nhau tại H, AH cắt BC tại K. a) Chứng minh: AK ⊥ BC. b) Chứng minh: AM . AB = AN . AC.

Lời giải

a) Do N ∈ (O)⇒ \(ON = \frac{1}{2}BC\)⇒ BN ⊥ AC;

M ∈ (O)⇒ \[MO = \frac{1}{2}BC\]⇒ MC ⊥ AB.

⇒ H là giao điểm của đường cao

⇒ AH ⊥ BC

⇒ AK ⊥ BC.

b) Xét ∆ANB và ∆AMC có

\[\widehat {BAC}\]là góc chung

\[\widehat {ANB} = \widehat {AMC}\](= 90°)

Do đó ∆ANB ᔕ ∆AMC(g.g).

Suy ra \[\frac{{AN}}{{AB}} = \frac{{AM}}{{AC}}\] (các cạnh tương ứng tỉ lệ).

Vậy AM . AB = AN. AC(đpcm).