Cho ABC là tam giác vuông tại đỉnh A và nội tiếp đường tròn (O) có bán kính 5 cm. Biết rằng diện tích tam giác ABC bằng 24 cm2. Tính bán kính đường tròn nội tiếp của tam giác ABC.

Vì bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông bằng một nửa cạnh huyền của tam giác nên: BC = 2.5 = 10 (cm).

Theo định lí Pythagore, ta có:

AB² + AC² = BC² = 10² = 100 (cm²).

Vì diện tích tam giác ABC bằng 24 cm² nên:

\(\frac{1}{2}AB.AC = 24\) (cm²).

Từ đây suy ra (AB + AC)² = AB² + 2.AB.AC + AC² = 100 + 2.48 = 196.

Hay AB + AC = 14 (cm).

Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp và r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Khi đó r là chiều cao hạ từ đỉnh I xuống các cạnh BC, CA, AB của các tam giác BIC, CIA, AIB. Do đó

\({S_{ABC}} = {S_{BIC}} + {S_{CIA}} + {S_{AIB}} = \frac{1}{2}BC.r + \frac{1}{2}CA.r + \frac{1}{2}AB.r = \frac{1}{2}\left( {BC + CA + AB} \right).r.\)

Suy ra \(24 = \frac{1}{2}\left( {10 + 14} \right).r,\) hay r = 2 cm.