Cho ΔABC, gọi I là giao điểm 3 đường phân giác trong. Qua I vẽ đường thẳng vuông

a) Xét tam giác AIM vuông tại I có: AMI^=90°−12A^=12180°−A^=12B^+C^

⇒BMI^=180°−AMI^=180°−12B^+C^

Xét tam giác BIC, có: BIC^=180°−12B^+C^

⇒BMI^=BIC^

Xét ∆BMI và ∆BIC, có:

⇒BMI^=BIC^ (cmt)

_MBI^=IBC^

 ⇒∆BMI ̴ ∆BIC (g – g)

⇒BMBI=BIBC⇔BI2=BM.BC

 

Chứng minh tương tự ta có ∆CNI ̴ ∆CIB (g – g)

⇒CNCI=CICB⇔CI2=CN.CB

⇒BI2CI2=BMCN

⇒BI2CI2=BMCN.

b) Từ cm trên suy ra :△BMI ∼△INC

_⇒BMIN+MINC

⇒ BM.CN = MI.NI

ta có : △AMN là tam giác cân

⇒ MI = NI

⇒ BM.CN = IM²

ta lại có : △AIM vuông

⇒ IM² = AM² – AI²

⇒ BM.CN = AM² – AI²

= AM.AN – AI² = (AB − BM)(AC − CN) – AI²

= AB.AC − AB.CN − BM.AC + BM.CN – AI²

⇒ BM.AC + CN.AB + AI² = AB.AC.