Cho ΔABC, gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC; và M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm các đoạn thẳng DA, AE, EF, FD.

a) Ta có E là trung điểm AC, F là trung điểm BC nên EF là đường trung bình ΔABC  

b) Ta có EF là đường trung bình ΔABC(cmt) ⇒EF//AB   &   EF=12AB mà D là trung điểm AB nên ⇒EF=ADEF//AD⇒ADFE là hình bình hành

Xét ΔADEcó M, N lần lượt là trung điểm AD, AE ⇒MN//DE  &   MN=12DE

Cmtt ⇒PQ//DE   &   PQ=12DE⇒PQ=MN   &  PQ//MN⇒PQMN là hình bình hành

c) Khi ΔABC vuông tại A thì A^=90°⇒Hình bình hành DAEF có A^=90° nên DAEF là hình chữ nhật.

Khi A^=90° thì DAEF là hình chữ nhật ⇒AF=DE  

Mặt khác, theo tính chất đường trung bình ta có MN=12DE, NP=12AF khi đó MN = NP

=> MNPQ là hình bình hành có MN = NP nên MNPQ là hình thoi

d) ΔABC vuông tại A thì MNPQ là hình thoi. Để MNPQ là hình vuông thì MN⊥NP mà

MN // DE, NP // AF (tính chất đường trung bình)

Nên DE⊥AF mà DE // BC (tính chất đường trung bình)⇒AF⊥BC

Suy ra ΔABC vuông tại A có AF là vừa đường trung tuyến, vừa đường cao

Nên ΔABC vuông cân tại A

Vậy ΔABC vuông cân tại A thì MNPQ là hình vuông.