Cho ΔABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O; R), đường cao AD. Gọi M, N theo thứ tự là hình chiếu của D trên AB và AC.

7/9

Cho $\Delta ABC$ có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $\left( {O\,;\,R} \right)$, đường cao $AD$. Gọi $M\,,\,N$ theo

thứ tự là hình chiếu của $D$ trên $AB$ và $AC$.

a) Chứng minh tứ giác $AMDN$ nội tiếp.

b) Kẻ đường kính $AQ$ của đường tròn $\left( O \right)$. Chứng minh $AM.AB = AN.AC$ và $MN \bot AQ$.

c) Kẻ đường cao $CE$ của $\Delta ABC$. Kẻ $DF \bot CE$ tại $F$. Chứng minh ba điểm $M\,,\,F\,,\,N$ thẳng hàng.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Vậy nếu đổ hết nước từ trong lọ thứ nhất (ảnh 1)

a) Có $DM \bot AB$ tại $M$ (do $M$ là hình chiếu của $D$ trên $AB$) $ \Rightarrow \widehat {DMA} = \widehat {DMB} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \Delta MDA$ vuông tại $M$ (dhnb) $ \Rightarrow 3$ điểm $A\,,\,M\,,\,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$ (định lí) $\left( 1 \right)$.

Có $DN \bot AC$ tại $N$ (Do $N$ là hình chiếu của $D$ trên $AC$) $ \Rightarrow \widehat {DNA} = \widehat {DNC} = 90^\circ $

$ \Rightarrow \Delta NDA$ vuông tại $N$$ \Rightarrow 3$ điểm $A\,,\,N\,,\,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$ (định lí) $\left( 2 \right)$.

Từ $\left( 1 \right)$ và $\left( 2 \right) \Rightarrow 4$ điểm $A\,,\,M\,,\,D\,,\,N$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AD$

Do đó, tứ giác $AMDN$ nội tiếp (đpcm).

b) Có $AD \bot BC$ tại $D$ (do $AD$ là đường cao của $\Delta ABC$) $ \Rightarrow \widehat {ADB} = \widehat {ADC} = 90^\circ $.

Mà $\widehat {ADB} = \widehat {ADM} + \widehat {MDB}$$ \Rightarrow \widehat {ADM} + \widehat {MDB} = 90^\circ $.

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $MBD$ ta có: $\widehat {DMB} + \widehat {MBD} + \widehat {MDB} = 180^\circ $.

Mà $\widehat {DMB} = 90^\circ \,\left( {cmt} \right)$$ \Rightarrow \widehat {MBD} + \widehat {MDB} = 90^\circ $.

Mặt khác $\widehat {ADM} + \widehat {MDB} = 90^\circ \,\left( {cmt} \right)$$ \Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {ADM}$ (cùng phụ với $\widehat {MDB}$).

Ta có $\widehat {ADM} = \widehat {ANM}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $AM$ của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $AMDN$)

\[ \Rightarrow \widehat {MBD} = \widehat {ANM}\left( { = \widehat {ADM}} \right)\] hay \[\widehat {ABC} = \widehat {ANM}\] (Do \[M \in AB\,,\,D \in BC\]).

Xét \[\Delta AMN\] và \[\Delta ACB\] có:

\[\widehat {MAN}\] là góc chung; \[\widehat {ANM} = \widehat {ABC}\,\left( {cmt} \right)\]

Do đó $Δ A M N ∽ Δ A C B (g . g)$ suy ra \[\frac{{AM}}{{AC}} = \frac{{AN}}{{AB}}\].

\[ \Rightarrow AM.AB = AN.AC\] (đpcm).

Gọi \[P\] là giao điểm của \[AQ\] và \[MN\].

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $ACQ$ ta có: $\widehat {ACQ} + \widehat {CQA} + \widehat {QAC} = 180^\circ $.

Mà \[\widehat {ACQ} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \[\left( {O\,;\,R} \right)\])$ \Rightarrow \widehat {CQA} + \widehat {QAC} = 90^\circ $.

Mà $\widehat {CQA} = \widehat {ABC}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $AC$ của đường tròn \[\left( {O\,;\,R} \right)\])

$ \Rightarrow \widehat {ABC} + \widehat {QAC} = 90^\circ $. Mà \[\widehat {ABC} = \widehat {ANM}\,\left( {cmt} \right)\]

$ \Rightarrow \widehat {ANM} + \widehat {QAC} = 90^\circ $ hay $\widehat {ANP} + \widehat {PAN} = 90^\circ $ (Do \[P \in MN\,,\,P \in AQ\,,\,N \in AC\]).

Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác $APN$ ta có: $\widehat {APN} + \widehat {ANP} + \widehat {PAN} = 180^\circ $.

Mà $\widehat {ANP} + \widehat {PAN} = 90^\circ \,\left( {cmt} \right)$$ \Rightarrow \widehat {APN} = 90^\circ $ $ \Rightarrow MN \bot AQ$ (đpcm).

c) Có $\widehat {DME} = 90^\circ $ (Do $\widehat {DMA} = 90^\circ $) $ \Rightarrow \Delta MDE$ vuông tại $M$ (dhnb) $ \Rightarrow 3$ điểm $E\,,\,M\,,\,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $ED$ (định lí) $\left( 3 \right)$.

Có $DF \bot EC$ tại $F\,\left( {gt} \right)$$ \Rightarrow \widehat {DFE} = \widehat {DFC} = 90^\circ $$ \Rightarrow \Delta DFE$ vuông tại $F$$ \Rightarrow 3$ điểm $E\,,\,F\,,\,D$ cùng thuộc đường tròn đường kính $ED$ (định lí) $\left( 4 \right)$.

Từ $\left( 3 \right)$ và $\left( 4 \right) \Rightarrow 4$ điểm $E\,,\,M\,,\,D\,,\,F$ cùng thuộc đường tròn đường kính $ED$

$ \Rightarrow \widehat {DMF} = \widehat {{E_1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $DE$ của đường tròn đường kính $ED$).

Có $CE \bot AB$ tại $E\,\left( {gt} \right)$$ \Rightarrow \widehat {CEA} = 90^\circ $$ \Rightarrow \Delta CEA$ vuông tại $E$ $ \Rightarrow 3$ điểm $C\,,\,E\,,\,A$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$ (định lí) $\left( 5 \right)$.

Có \[\widehat {ADC} = 90^\circ \,\left( {cmt} \right)\]$ \Rightarrow \Delta ADC$ vuông tại $D$ (dhnb) $ \Rightarrow 3$ điểm $A\,,\,D\,,\,C$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$ (định lí) $\left( 6 \right)$.

Từ $\left( 5 \right)$ và $\left( 6 \right)$ suy ra điểm $E\,,\,D\,,\,C\,,\,A$ cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$

$ \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {{E_1}}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $DC$ của đường tròn đường kính \[AC\]).

Mà $\widehat {DMF} = \widehat {{E_1}}\,\left( {cmt} \right)$$ \Rightarrow \widehat {DAC} = \widehat {DMF}\left( { = \widehat {{E_1}}} \right)$ hay $\widehat {DAN} = \widehat {DMF}$.

Mà $\widehat {DAN} = \widehat {DMN}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung nhỏ $DN$ của đường tròn đường kính \[AD).\]

$ \Rightarrow \widehat {DMN} = \widehat {DMF}$. Mà hai tia $MN\,,\,MF$ cùng nằm về một phía so với $MD$

Suy ra ba điểm $M\,,\,F\,,\,N$ thẳng hàng.