Cho ABC có ba góc nhọn (AB < AC), vẽ các đường cao BD và CE. a) Chứng minh ∆ABD ᔕ ∆ACE;

a) Xét ∆ABD và ∆ACE có:

BAC^ chung,

ADB^=AEC^=90°(gt)

Suy ra ∆ABD ᔕ∆ACE (g.g)

b) Vì ∆ABD ᔕ∆ACE (câu a)

⇒ADAE=ABAC (các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ)

Xét ∆AED và ∆ACB có

ADAE=ABAC ( chứng minh trên)

BAC^ chung,

Suy ra, ∆AED ᔕ∆ACB (c.g.c)

⇒ADE^=ABC^ (hai góc tương ứng)

Mặc khác: ADE^+EDC^=180°(hai góc kề bù)

Do đó ADE^+EDC^=ABC^+EDC^=180°.

Vậy ABC^+EDC^=180°.

c) Vì ∆ABD ᔕ∆ACE (câu a)

⇒ABAC=BDCE (tỉ số đồng dạng)

Mà M là trung điểm của BD, N là trung điểm của CE (giả thiết)

Nên ta có: BD = 2BM và CE = 2CN

⇒ABAC=BDCE=2BM2CN=BMCN

Xét DABM và DACN có:

ABAC=BMCN (chứng minh trên),

ABM^=ACN^ (do cùng phụ với BAC^)

ÞDABM ᔕDACN (c.g.c)

⇒BAM^=CAN^ (hai góc tương ứng)

Lại có AK là tia phân giác của MAN^ (giả thiết)

⇒MAK^=NAK^ (tính chất tia phân giác của một góc)

Do đó: BAM^+MAK^=CAN^+NAK^

Hay BAK^=KAC^ 

Þ AK là tia phân giác của BAC^

Theo tính chất tia phân giác của tam giác ta có:

ABAC=KBKC 

Þ KB.AC = KC.AB (điều phải chứng minh).

Vậy KB.AC = KC.AB.