Cho Δ ABC có AD là trung tuyến, trọng tâm G , đường thẳng đi qua G cắt các cạnh AB , AC lần lượt tại E , F . Từ B , C kẻ các đường song song với EF cắt AD lần lượt tại M ,

19/23

Cho $\Delta ABC$ có $AD$ là trung tuyến, trọng tâm $G,$ đường thẳng đi qua $G$ cắt các cạnh $AB,\,\,AC$ lần lượt tại $E,\,\,F.$ Từ $B,\,\,C$ kẻ các đường song song với $EF$ cắt $AD$ lần lượt tại $M,\,\,N.$ Chứng minh rằng:

a) $\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.$

b) $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = 1.$

c) $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Hướng dẫn giải

a) Xét $\Delta ABM$ có $EG\,{\rm{//}}\,BM,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{BE}}{{AE}} = \frac{{MG}}{{AG}}.$

b) Xét $\Delta DCN$ có $BM\,{\rm{//}}\,CN,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}}.$

Mà $D$ là trung điểm của $BC$ (do $AD$ là trung tuyến của tam giác) nên $DC = DB.$

Do đó $\frac{{DN}}{{MD}} = \frac{{DC}}{{DB}} = 1,$ nên $DM = DN.$

$Cho $\Delta ABC$ có $AD$ là trun (ảnh 1)$

Suy ra $GM + GN = GM + GM + MN = 2GM + 2MD = 2GD.$

Lại có $G$ là trọng tâm $\Delta ABC$ nên $AG = 2GD.$

Xét $\Delta ACN$ có $FG\,{\rm{//}}\,CN,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{GN}}{{AG}}.$

Suy ra $\frac{{BE}}{{AE}} + \frac{{CF}}{{AF}} = \frac{{MG}}{{AG}} + \frac{{GN}}{{AG}} = \frac{{GM + GN}}{{AG}} = \frac{{2GD}}{{2GD}} = 1.$

c) Xét $\Delta ABM$ có $EG\,{\rm{//}}\,BM,$ theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AB}}{{AE}} = \frac{{AM}}{{AG}}.$

Xét $\Delta ACN$ có \[FG\,{\rm{//}}\,CN,\] theo định lí Thalès ta có: $\frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AN}}{{AG}}.$

Suy ra $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = \frac{{AM}}{{AG}} + \frac{{AN}}{{AG}}$$ = \frac{{AG + GM + AG + GM + MN}}{{AG}}$

$ = \frac{{2AG + 2GM + 2MD}}{{AG}}$$ = \frac{{2AG + 2\left( {GM + MD} \right)}}{{AG}} = \frac{{2AG + 2GD}}{{AG}}$

$ = \frac{{2AG + 2 \cdot \frac{1}{2}AG}}{{AG}} = \frac{{3AG}}{{AG}} = 3.$

Vậy $\frac{{AB}}{{AE}} + \frac{{AC}}{{AF}} = 3.$