Cho ΔABC cân tại A(ˆA<90∘). Vẽ BE vuông góc với AC tại E và CD vuông góc với AB tại D. 1) Chứng minh BE=CD. 2) Chứng minh tứ giác BDEC là hình thang cân.

1) Vì \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) nên \(AB = AC\).

Xét \(\Delta ABE\) vuông và \[\Delta ACD\] vuông ta có:

\(AB = AC\) (cmt); \(\widehat {A\,}\) chung

\( \Rightarrow \Delta ABE = \Delta ACD\) (cạnh huyền – góc nhọn)

\( \Rightarrow BE = CD\) (hai cạnh tương ứng)

2) Vì \[\Delta ADC = \Delta AEB\] (cmt) nên \(AD = AE\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow \Delta ADE\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow \widehat {ADE} = \widehat {AED}\) (tính chất tam giác cân)

Xét \(\Delta ADE\) ta có:

\(\widehat A + \widehat {ADE} + \widehat {AED} = 180^\circ \) (tổng góc)

\(\widehat A + \widehat {ADE} + \widehat {ADE} = 180^\circ \)

\(\widehat A + 2\widehat {ADE} = 180^\circ \)

\(\widehat {ADE} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\) \(\left( 1 \right)\)

Xét \(\Delta ABC\) ta có:

\(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = 180^\circ \) (tổng góc)

\(\widehat A + \widehat {ABC} + \widehat {ABC} = 180^\circ \)

\(\widehat A + 2\widehat {ABC} = 180^\circ \)

\(\widehat {ABC} = \frac{{180^\circ - \widehat A}}{2}\) \(\left( 2 \right)\)

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(\widehat {ADE} = \widehat {ABC}\).

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên \(DE\)//\(BC\) \( \Rightarrow \) Tứ giác \(DECB\) là hình thang.

Mà \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}\) (tính chất tam giác cân)

Vây tứ giác \(DECB\) là hình thang cân.

3) Để \(I\) cách đều \(3\) cạnh của \(\Delta ABC\)

Khi \(I\) là giao điểm của ba đường phân giác

Xét \(\Delta ABC\) có \(BE\) vừa là đường cao, \(BE\) vừa là đường phân giác

\( \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(B\)\( \Rightarrow BA = BC\) (tính chất tam giác cân)

Mà \(AB = AC\) (cmt) \( \Rightarrow AB = AC = BC\) \( \Rightarrow \Delta ABC\) đều.

Ta có: \(\Delta ABC\) đều, \(BE\) là đường cao

\( \Rightarrow BE\) là đường trung tuyến nên \(E\) là trung điểm của \(AC\)\( \Rightarrow EC = \frac{1}{2}AC\).

Xét \(\Delta ABC\) đều có \(CD\) là đường cao (gt)

\( \Rightarrow CD\) là đường trung tuyến\( \Rightarrow D\) là trung điểm của \(AB\)\( \Rightarrow BD = \frac{1}{2}AB\).

Xét \(\Delta ABC\) đều có \(E\) là trung điểm \(AC\) (cmt); \(D\) là trung điểm \(AB\) (cmt)

\( \Rightarrow DE\) là đường trung bình của \(\Delta ABC\)\( \Rightarrow DE = \frac{1}{2}BC\)

Ta có: \(EC = \frac{1}{2}AC\) (cmt); \(BD = \frac{1}{2}AB\) (cmt)

Mà \(AB = BC = AC\)\( \Rightarrow DE = EC = BD\) (đpcm).