Cho ∆ABC cân tại A, đường cao AD, trực tâm H. a) Gọi E là điểm đối xứng với H qua D. Chứng minh rằng: ABEC là tứ giác nội tiếp. b) Tính HD và bán kính đường tròn ngoại tiếp ∆ABC biết HA = 7

Lời giải:

a) ΔABC cân tại A có đường cao AD

⇒AD đồng thời là đường trung tuyến của ΔABC⇒D là trung điểm BC.

Mà D là trung điểm EH (vì E và H đối xứng qua D).

⇒ Tứ giác BECH là hình bình hành.

Ta lại có: BC⊥EH tại D⇒BECH là hình thoi⇒BH=BE.

BE // CH; CE // BH; H là trực tâm ΔABC⇒ CH⊥AB ⇒BE⊥AB

BH⊥AC ⇒CE⊥AC

\( \Rightarrow \widehat {ABE} = \widehat {ACE} = 90^\circ ;\widehat {ABE} + \widehat {ACE} = 180^\circ \)

⇒ABEC nội tiếp đường tròn (O) đường kính AE (với O là trung điểm AE).

b) Ta có: BE=HB; DE=HD (câu a)

AE=HA+HD+DE=HA+2HD

Đặt HD=x (x>0)

HA=7 cm; HB=2 cm

ΔABE vuông tại B đường cao BD

\( \Rightarrow B{E^2} = DE.AE\)(hệ thức lượng trong ∆ vuông)

⇔\(H{B^2}\)=HD.(HA+2HD)

⇔22= x(7+2x)

⇔\(2{x^2}\)+7x–4=0

⇔\(2{x^2}\)+8x–x–4=0

⇔2x(x+4)−(x+4)=0

⇔(x+4)(2x−1)=0

⇔x=−4 (loại) hoặc x=0,5 (nhận)

⇒ HD=x=0,5 cm

⇒ AE=HA+2HD= 7+2.0,5=8 cm

⇒R=OA=12AE=12.8=4 cm

Vậy HD=0,5cm và bán kính đường tròn (O) ngoại tiếp ΔABC là R=4 cm.