Cho ∆ABC cân tại A có CM là tia phân giác của góc ACB và góc A = 3 góc B. Số đo của góc AMC là A. 54°; B. 55°; C. 56°; D. 57°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Theo bài ta có ∆ABC cân tại A nên \(\widehat {\rm{B}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\) (tính chất tam giác cân)

Xét ∆ABC có: \(\widehat {\rm{A}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {{\rm{ACB}}} = 180^\circ \)(tổng ba góc trong tam giác bằng 180°) (1)

Mà \(\widehat {\rm{A}} = 3\widehat {\rm{B}}\) và \(\widehat {\rm{B}} = \widehat {{\rm{ACB}}}\)

Nên \(3\widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{B}} + \widehat {\rm{B}} = 180^\circ \)

Hay \(5\widehat {\rm{B}} = 180^\circ \)

Do đó \(\widehat {\rm{B}} = \frac{{180^\circ }}{5} = 36^\circ \)

Suy ra \(\widehat {\rm{B}} = \widehat {{\rm{ACB}}} = 36^\circ \); \(\widehat {\rm{A}} = 3\widehat {\rm{B}} = 3.36^\circ = 108^\circ \).

Ta lại có CM là tia phân giác của \(\widehat {{\rm{ACB}}}\)

Suy ra \(\widehat {{\rm{ACM}}} = \widehat {{\rm{CMB}}} = \frac{{\widehat {{\rm{ACB}}}}}{2} = \frac{{36^\circ }}{2} = 18^\circ \)

Xét ∆AMC có: \(\widehat {\rm{A}} + \widehat {{\rm{ACM}}} + \widehat {{\rm{AMC}}} = 180^\circ \) (tổng ba góc trong tam giác bằng 180°)

Hay \(108^\circ + 18^\circ + \widehat {{\rm{AMC}}} = 180^\circ \)

Suy ra \(\widehat {{\rm{AMC}}} = 180^\circ - 108^\circ - 18^\circ = 54^\circ \).

Vậy ta chọn phương án A.