Cho abc ≠ 1 hoặc abc ≠ –1 và ab+1/b= bc+1/c=ca+1/a . Chứng minh rằng a = b = c.

Ta có: ab+1b=bc+1c=ca+1a

⇔a+1b=b+1c=c+1a

⇔a−b=1c−1bb−c=1a−1cc−a=1b−1a

⇔a−b=b−cbcb−c=c−aacc−a=a−bab

⇔a−bb−cc−a=b−cbc.c−aac.a−bab

⇔a−bb−cc−a−a−bb−cc−aa2b2c2=0

⇔a−bb−cc−a1−1a2b2c2=0

⇔a−bb−cc−a=0 (vì abc ≠ 1, abc ≠ –1)

⇔a−b=0b−c=0c−a=0

⇔a=bb=cc=a

•Nếu a = b thì 1a−1c=0. Do đó a = c, suy ra a = b = c;

•Nếu b = c thì 1c−1b=0. Do đó b = c, suy ra a = b = c;

•Nếu c = a thì 1b−1a=0 . Do đó b = a, suy ra a = b = c.

Vậy a = b = c.